Elecciones: La lista más votada y el teorema de imposibilidad de Arrow

¿Qué pensarías si te dijera lo siguiente? Si hay tres opciones que elegir por un grupo de amigos, dadas sus preferencias sobre las tres opciones, el resultado dependerá del sistema de votación que elija.

O mejor aún, no existe un sistema de votación perfecto, cuando hay tres o más opciones que elegir, que realmente refleje las preferencias mayoritarias de un grupo de personas. Aquí hago una pausa, como verás, cuando sólo se tiene que elegir entre dos opciones (tipo Brexit o referendums de Sí o No) la idea no aplica porque el sistema de mayoría simple reflejaría sin problemas las preferencias mayoritarias del grupo.

La idea de que el resultado de una votación depende no sólo de las preferencias sino también del sistema de votación utilizado es un corolario del teorema de imposibilidad de Kenneth J. Arrow (nobel de economía) de los 50s. Su teorema muestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan estrictamente al criterio de racionalidad cuando se tiene que elegir entre tres o más opciones.

Y por racionalidad, en palabras mundanas y sin mucho rigor matemático, nos referimos a:

1. Transitividad: Si la sociedad prefiere A sobre B y B sobre C, entonces el sistema de votación debería preferir A sobre C
2. Unanimidad: Si todos los individuos prefieren A sobre B entonces el sistema de votación debería dar como resultado A sobre B
3. Independencia de alternativas irrelevantes: Si la sociedad prefiere A sobre B, que aparezca una opción D que es indiferente a A y B, el sistema de votación debería mantener la preferencia A sobre B y no invertir las preferencias. Aquí copio el ejemplo de mi exprofesor de teoría de juegos: "Imaginémonos que estamos en un restaurante y pedimos la carta. Nos dicen que hay carne y pescado. Elegimos la carne. En ese momento, el camarero nos informa de que también hay ancas de rana. Ante la nueva información elegimos pescado. Este extraño cambio de parecer es el que evita la independencia de alternativas irrelevantes" 
4. No dictadura: El sistema de votación no debería dar como resultado sólo las preferencias de un individuo.

Lo que Arrow demostró es que: si el sistema de votación que elegimos cumple con transitividad, unanimidad e independencia de alternativas irrelevantes entonces el sistema de votación seleccionado es el DICTATORIAL.

Por lo que si queremos anular a la dictadura nos quedan dos opciones: o tenemos todos las mismas preferencias o renunciamos a algunas de las condiciones de racionalidad (transitividad, unanimidad o independencia de alternativas irrelevantes). Es por todo esto que vemos que en algunos sistemas de votación, el que gana no es necesariamente el más votado (Georg Bush en el 2000 ganó las elecciones con 500mil votos menos que Al Gore)

Referencias consultadas: mi exprofesor de teoría de juegos (José Luis Ferreira) lo explica muy bien aquí, un vídeo muy ilustrativo también el del matemático y divulgador argentino Paenza aquí y un ejemplo práctico relacionado con el mundo del fútbol sobre el mejor portero europeo aquí.

Espero que haya sido claro y simple. Todo este escrito surgió por una charla a la hora del almuerzo con mis compañeros Raquel y Amado, momento en el cual me acordaba muy vagamente del teorema y me incitó a leerlo detenidamente una vez más.